Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx+cosx）+ksin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）．
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）內(nèi)的值域；
（2）tanα=

1

2

時(shí)，f（α）=

3

2

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過三角恒等變換把函數(shù)關(guān)系式，變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．
（2）首先利用tanα=

1

2

，求出tan2α=

4

3

，進(jìn)一步對函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，再利用分類討論思想求出三角函數(shù)的值，最后求出參數(shù)的值．

解答： 解：（1）f（x）=cosx（sinx+cosx）+ksin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）
=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-sin(2x+

π

2

)
=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

2

=

2

2

cos(2x+

π

4

)+

1

2

由于0＜x＜

π

2

所以：

π

4

＜2x+

π

4

＜

5π

4

則：-

2

2

＜cos(2x+

π

4

)＜

2

2

所以：0＜f（x）＜1 
（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）+ksin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）
=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

k

2

sin(2x+

π

2

)
=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

k

2

cos2x
=

1

2

(sin2x+cos2x-kcos2x+1)
由于：tanα=

1

2

，
解得：tan2α=

4

3

又f（α）=

3

2

，
所以：

1

2

(sin2α+cos2α-kcos2α+1)=

3

2

即：sin2α+cos2α-kcos2α=2
①當(dāng)2α的終邊落在第一象限時(shí)，sin2α=

4

5

，cos2α=

3

5

解得：k=2
②當(dāng)2α的終邊落在第三象限時(shí)，sin2α=-

4

5

，cos2α=-

3

5

解得：k=12

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用余弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，分類討論思想在做題中得應(yīng)用，及相關(guān)的三角函數(shù)求值問題．