Question

已知{a_n}是一個單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且滿足a₂a₄=21，a₁+a₅=10，數(shù)列{b_n}的前n項和為2S_n=3（b_n-1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用條件求出a₃=5．結(jié)合a₂a₄=21，求出d，然后求解a_n．
（Ⅱ）利用2S_n=3（b_n-1），結(jié)合b_n=S_n-S_n-1，得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題知d＞0．
由2a₃=a₁+a₅=10，又可得a₃=5．
由a₂a₄=21，得（5-d）（5+d）=21，可得d=2．
所以a₁=a₃-2d=1．可得a_n=2n-1（n∈N*）…（6分）
（Ⅱ）證明：由已知2S_n=3（b_n-1），得Sn=

3

2

(bn-1)n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

3

2

(bn-1)-

3

2

(bn-1-1)=

3

2

(bn-bn-1)，
所以b_n=3b_n-1，

bn

bn-1

=3(n≥2)
又2b₁=2S₁=3（b₁-1），解得b₁=3
所以數(shù)列{b_n}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，等比數(shù)列的判定，數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．