Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且Tn=1-

1

2

bn(n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，故只需求出首項(xiàng)和公差就可求其通項(xiàng)公式；由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n   通過(guò)遞推然后兩式相減可求得b_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c_n的表達(dá)式，通過(guò)探討數(shù)列的單調(diào)性c_n的最大項(xiàng)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)a_n的首項(xiàng)為a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，
∴

a2+a5=12 a2•a5=27

?

a1=1 d=2

∴a_n=2n-1
n=1時(shí)，b1=T1=1-

1

2

b1
∴b1=

2

3

n≥2時(shí)，Tn=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
兩式相減得bn=

1

3

bn-1數(shù)列是等比數(shù)列，
∴bn=

2

3

•(

1

3

)n-1
（Ⅱ）cn=(2n-1)•

2

3

•(

1

3

)n-1cn+1-cn=

8

3

•(

1

3

)n(1-n)
∴當(dāng)n=1時(shí)，c₂=c₁
當(dāng)n≥2時(shí)，c_n+1＜c_n，∴c_n單調(diào)遞減，
∴數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)為c₁=c₂=

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)中檔題，主要考查利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)的方法，同時(shí)考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的單調(diào)性的探討方法，體現(xiàn)了分類討論與整合的思想方法．