Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（　�。�
①f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù) 
②y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對稱
③f（x）的最大值為

4 3

9

④y=f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上是增函數(shù)．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：對于①，可利用奇函數(shù)的定義與周期函數(shù)的定義直接證明；
對于②，用軸對稱的條件直接驗證f（π-x）=f（x）成立與否即可判斷其正誤；
對于③，可將函數(shù)解析式換為f（x）=2sinx-2sin³x，再換元為y=2t-2t³，t∈[-1，1]，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最值即可判斷正誤；
對于④由復合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合③可判斷正確．

解答： 解：①∵f（-x）+f（x）=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，
∴函數(shù)f（x）=cosxsin2x是奇函數(shù)，
又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，
∴函數(shù)f（x）=cosxsin2x是周期函數(shù)，命題①正確；
②∵f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的圖象關(guān)于x=

π

2

對稱，
命題②正確；
③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，
令t=sinx∈[-1，1]，則y=2t-2t³，t∈[-1，1]，則y′=2-6t²，令y′＞0，
解得-

3

3

＜t＜

3

3

，故y=2t-2t³，在[-

3

3

，

3

3

]上增，在[-1，-

3

3

]與[

3

3

，1]上減，
又y（-1）=0，y（

3

3

）=

4 3

9

，故函數(shù)的最大值為

4 3

9

，命題③正確；
④∵t=sinx在[-

π

6

，

π

6

]上是增函數(shù)，而[-

1

2

，

1

2

]⊆[-

3

3

，

3

3

]，
由③知，y=f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上是增函數(shù)．
∴正確命題的個數(shù)是4個．
故選：D．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的基本性質(zhì)，是中檔題．