Question

計算：2ⁿ-C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…+（-1）^rC_n^r2^n-r+…+（-1）ⁿC_nⁿ（n∈N^*）=    ．

Answer 1

【答案】分析：直接根據（a+b）ⁿ=C_naⁿ+C_n¹a^n-1b¹+C_n²a^n-2b²+…C_n^ra^n-rb^r…+C_nⁿbⁿ，令a=2，b=-1即為原題可得結論．
解答：解：∵（a+b）ⁿ=C_naⁿ+C_n¹a^n-1b¹+C_n²a^n-2b²+…C_n^ra^n-rb^r…+C_nⁿbⁿ．
令a=2，b=-1
得：2ⁿ-C_n¹2^n-1+C_n²2^n-2+…+（-1）^rC_n^r2^n-r+…+（-1）ⁿC_nⁿ=（2-1）ⁿ=1．
故答案為：1．
點評：本題主要考查二項式定理的應用．解決本題的關鍵在于觀察出其為二項式的展開式，并得到a=2，b=-1．