Question

已知正數(shù)數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+c_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{c_n}的通項公式；
（2）設a_n=

1

cn

，探究是否存在數(shù)列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n一1）2²ⁿ⁺¹+2對一切正整數(shù)n都成立？若存在，請求出數(shù)列{b_n}的通項公式，若不存在，請說明理由；
（3）若（2）探究出存在數(shù)列{b_n}，則求數(shù)列{b_n•c_n}的前n項的和T_n；若（2）探究出不存在數(shù)列{b_n}，則請計算數(shù)列{

2n+1

2n

}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，S₁+c₁=1，可求得c₁；n≥2時，S_n+c_n=1，S_n-1+c_n-1=1，兩式相減，可求得2c_n=c_n-1，可判斷數(shù)列{c_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{c_n}的通項公式；
（2）可求得a_n=2ⁿ，若存在數(shù)列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n一1）2ⁿ⁺¹+2對一切正整數(shù)n都成立，向下類推一次后兩式作差，可求得b_n=2n+1（n≥2），再驗證n=1時是否符合即可；
（3）依題意，T_n=

3

2

+

5

22

+

7

23

+…+

2n+1

2n

，利用錯位相減法即可求得T_n．

解答：解：（1）當n=1時，S₁+c₁=1，即2c₁=1，故c₁=

1

2

（1分）
當n≥2時，S_n+c_n=1，S_n-1+c_n-1=1，兩式相減，得（S_n-S_n-1）+（c_n-c_n-1）=0，
即2c_n=c_n-1，
所以數(shù)列{c_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
所以c_n=(

1

2

)n．（3分）
（2）因為a_n=

1

cn

，
所以a_n=2ⁿ．（4分）
若存在數(shù)列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n一1）2²ⁿ⁺¹+2對一切正整數(shù)n都成立，
則a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（2n一3）2^2n-1+2（n≥2），（6分）
兩式相減，得a_nb_n=（6n-1）2^2n-1（n≥2），解得b_n=2n+1（n≥2）；
由a₁b₁=6，得b₁=3，符合上式，所以b_n=2n+1（n∈N^*）．
所以存在符合條件的數(shù)列{b_n}，其通項公式為b_n=2n+1（n∈N^*）．（8分）
（3）因為b_n•c_n=

2n+1

2n

，故數(shù)列{b_n•c_n}的前n項的和T_n=

3

2

+

5

22

+

7

23

+…+

2n+1

2n

，
所以

1

2

T_n=

3

22

+

5

23

+

7

24

+…+

2n+1

2n+1

，
所以T_n-

1

2

T_n=

3

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

=

3

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

（11分）
故

1

2

T_n=

5

2

-

1

2n-1

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

，
所以T_n=5-

2n+5

2n

（13分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列的遞推，著重考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的判定與綜合應用，突出錯位相減法的應用，屬于難題．