Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為上的一點， 平面 ；

（1）求證：為的中點;

（2）求證：

（3）設(shè)二面角為60°，，，求長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）連接BD交AC于O，連接EO．由線面平行的性質(zhì)可得PB∥OE，故而得出E為PD的中點；

（2）證明CD⊥平面PAD,則可得出CD⊥AE；

（3）建立空間坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用法向量的夾角公式運算得出AB的長．

（1）連交于點，連結(jié)，

因為平面，PB平面PBD，平面平面，

∴，

∵為中點，∴為中點.

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，

又PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD，又AE平面PAD．

∴CD⊥AE．

（3）以A為原點，以AB，AD，AP為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)AB＝a，則A（0，0，0），C（a，，0），D（0，，0），P（0，0，1），E（0，，），

∴（a，，0），（0，，），（0，0，1），

顯然（1，0，0）為平面AED的一個法向量，

設(shè)平面ACE的法向量為（x，y，z），則，即，

令z得（，﹣1，），

∵二面角D﹣AE﹣C為60°，

∴|cos|＝||，

解得a，即AB．