【題目】設(shè),分別為橢圓:的左右焦點,已知橢圓上的點到焦點,的距離之和為4.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點作直線交橢圓于,兩點,線段的中點為,連結(jié)并延長交橢圓于點(為坐標(biāo)原點),若,,等比數(shù)列,求線段的方程.

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義，代入點，得到和，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)（1）得到，根據(jù)題意得到，當(dāng)直線斜率不存在時，說明不成立，當(dāng)直線斜率存在，設(shè)為，與橢圓聯(lián)立得到，，再得到點坐標(biāo)，求出方程，得到，利用弦長公式，得到，從而得到關(guān)于的方程，解得值，得到的方程.

解:（1）因為橢圓上的點到焦點，的距離之和為4

所以，即，

將點代入橢圓方程得，得，

故橢圓方程為.

（2）因為，

所以焦點的坐標(biāo)分別為和，，

因為，，成等比數(shù)列，

所以.

①當(dāng)直線斜率不存在時，則所求方程為，，.

顯然不符合題意.

②當(dāng)直線斜率存在，并設(shè)直線方程為，

代入得，

設(shè)，，則，，

所以，，

即點坐標(biāo)為，

所以可得直線方程為:，

代入橢圓方程解得，，

故，

又因為，

代入，得，解得，

故直線的方程為.

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