Question

已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個底邊為6，高為4的等腰三角形，求該幾何體的表面積．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，該幾何體是一個四棱錐，其底面是邊長分別為6和8的矩形，側(cè)棱長均相等且高SO=4．因此利用線面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理算出等腰△SAB和等腰△SCB的高長，從而算出四個側(cè)面等腰三角形的面積，結(jié)合矩形ABCD的面積即可得到該幾何體的全面積．

解答：解：由三視圖可判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖如圖：
可得該幾何體是底面邊長分別為6和8的矩形，
且側(cè)棱長均相等的四棱錐，高長為SO=4，如圖所示
因此，等腰△_SAB的高SE=

SO2+OE2

=5
等腰△_SCB的高SF=

SO2+OF2

=

42+42

=4

2

∴S_△SAB=S_△SCD=

1

2

×AB×SE=20，
S_△SCB=S_△SAD=

1

2

×CB×SF=12

2

，
∵矩形ABCD的面積為6×8=48，
∴該幾何體的表面積為
S_全=S_△SAB+S_△SCD+S_△SCB+S_△SAD+S_ABCD
=2×20+2×12

2

+48=24

2

+88．
∴幾何體的表面積為88+24

2

．

點評：本題給出四棱錐的三視圖，要我們根據(jù)題中數(shù)據(jù)計算四棱錐的全面積，著重考查了線面垂直的性質(zhì)、三視圖的理解和錐體表面積計算等知識．