Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且滿足3S_n=2a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=（n+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)可得{a_n}是以2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，從而求得a_n；
（2）化簡(jiǎn)b_n=（n+1）（-2）^n-1，從而利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和即可．

解答 解：（1）n=1時(shí)，3S₁=2a₁+1
，解得a₁=1，n≥2時(shí)，3S_n=2a_n+1，3S_n-1=2a_n-1+1，
可得3a_n=2a_n-2a_n-1，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，
故a_n=（-2）^n-1，
（2）b_n=（n+1）a_n=（n+1）（-2）^n-1，
故T_n=2×1+3×（-2）+4×（-2）²+…+（n+1）（-2）^n-1，
-2T_n=2×（-2）+3×（-2）²+4×（-2）³+…+（n+1）（-2）ⁿ，
兩式作差可得，
3T_n=2×（-2）⁰+（-2）+（-2）²+（-2）³+…+（-2）^n-1-（n+1）×（-2）ⁿ
=1+$\frac{1-（-2）^{n-1}}{3}$-（n+1）（-2）ⁿ
故T_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{3n+4}{9}×（-2）^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及構(gòu)造法的應(yīng)用，同時(shí)考查了錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．