Question

【題目】在直角坐標系中，橢圓關于坐標軸對稱，以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系， ， 為橢圓上兩點.

(1)求直線的直角坐標方程與橢圓的參數(shù)方程；

(2)若點在橢圓上，且點在第一象限內，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）直角方程參數(shù)方程為（2）6.

【解析】試題分析：

（1）將點A的坐標化為直角坐標便可得到直線的傾斜角，進而可得直線的方程；然后根據(jù)待定系數(shù)法可得橢圓的直角坐標方程，再化為參數(shù)方程即可．（2）由（1）可得點M(2cosα，2sinα) ，0＜α＜，進而可得點M到直線OA的距離d，所以S＝S△MOA＋S△MOB

＝6sin(α＋)，結合三角知識可得結果．

試題解析：

（1）由A(，)得直線OA的傾斜角為，

所以直線OA斜率為tan＝－1，

故直線OA的方程為，即x＋y＝0．

由x＝ρcosα，y＝ρsinα可得點A的直角坐標為(－， )，

因為橢圓C關于坐標軸對稱，且B(2，0)，

所以可設橢圓C：＋＝1，其中t＞0且t≠12，

將(－， )的坐標代入曲線C的方程，可得t＝4，

故橢圓C的方程為，

所以橢圓C的參數(shù)方程為．

（2）由（1）得M(2cosα，2sinα)，0＜α＜．

點M到直線OA的距離d＝cosα＋sinα．

所以S＝S△MOA＋S△MOB＝(3cosα＋sinα)＋2sinα＝3cosα＋3sinα＝6sin(α＋)，

故當α＝時，四邊形OAMB面積S取得最大值6．