Question

已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；
（2）若a=1，求函數(shù)f（x）在上的值域．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1
==
∵x₁-1＜0，x₂-1＜0，a（x₁-x₂）＜0
∴＞0，得f（x₁）＞f（x₂），函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)；
同理可得，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，由（1）得f（x）=在（-1，1）上是減函數(shù)
∴函數(shù)f（x在上也是減函數(shù)，其最小值為f（）=-1，最大值為f（-）=
由此可得，函數(shù)f（x）在上的值域?yàn)閇-1，]．
分析：（1）根據(jù)單調(diào)性的定義，進(jìn)行作差變形整理，可得當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的單調(diào)性，算出函數(shù)在在上的最大值和最小值，由此即可得到f（x）在上的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題給出分式函數(shù)，討論了函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，著重考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明和函數(shù)的值域等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．