Question

在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4且a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；
（2）猜想{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件得2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_nb_n+1，由此能求出a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄．
（2）猜測(cè)a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²．然后根據(jù)題設(shè)條件，分別利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解答：解：（1）由條件得2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_nb_n+1
由此可得a₂=6，b₂=9，a₃=12，b₃=16，a₄=20，b₄=25…（6分）
（2）猜測(cè)a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=k（k+1），b_k=（k+1）²
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=2b_k-a_k=2（k+1）²-k（k+1）=（k+1）（k+2）

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立…（11分）
由①②可知，a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²…（12分）
對(duì)一切正整數(shù)都成立．
點(diǎn)評(píng)：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的靈活運(yùn)用．