Question

已知函數(shù)f（x）=mx-

m

x

，g（x）=2lnx
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，判斷方程f（x）=g（x）的實(shí)根個(gè)數(shù)；
（3 ）若x∈（1，e]時(shí)，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由點(diǎn)斜式寫出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）代入m的值，把判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間（0，+∞）上有無(wú)實(shí)根轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上有無(wú)零點(diǎn)問(wèn)題，求導(dǎo)后利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；
（3）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理變形后把參數(shù)m分離出來(lái)，x∈（1，e]時(shí)，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)m小于一個(gè)函數(shù)在（1，e]上的最小值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在（1，e]上的最小值．

解答： 解：（1）m=2時(shí)，f（x）=mx-

m

x

=2x-

2

x

，f′（x）=2+

2

x2

，
則f′（1）=2+2=4，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴切線方程為y=4x-4；
（2）m=1時(shí)，令h（x）=f（x）-g（x）=x-

1

x

-2lnx，函數(shù)h（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），h′（x）=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又h（1）=0，
故f（x）=g（x）在（0，+∞）內(nèi)只有1個(gè)實(shí)數(shù)根； 
（3）不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，即mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，也就是m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，則當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，
令G（x）=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，
由G′（x）=

(2+2lnx+2)(x2-1)-(2x+2xlnx)•2x

(x2-1)2

=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2-1)2

，
∵1＜x≤e，∴l(xiāng)nx＞0，∴當(dāng)x∈（1，e]時(shí)G′（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上單調(diào)遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為G（e）=

4e

e2-1

，
則m的取值范圍是m＜

4e

e2-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了利用分離變量法解決恒成立的問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．