Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：（x-3）²+（y-1）²=3相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若不過A的動(dòng)直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且

AP

•

AQ

=0，求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）圓M的圓心為（3，1），半徑r=

3

．直線AF的方程為x+cy-c=0，由直線AF與圓M相切，得c²=2，a²=c²+1=3，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）法一：由

AP

•

AQ

=0，知AP⊥AQ，設(shè)直線AP的方程為y=kx+1，直線AQ的方程為y=-

1

k

x+1．聯(lián)立

y=kx+1 x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6kx=0，求得點(diǎn)P(

-6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

)，點(diǎn)Q(

6k

k2+3

，

k2-3

k2+3

)，由此能證明直線l過定點(diǎn)(0，-

1

2

)．
（Ⅱ）法二：由

AP

•

AQ

=0，知AP⊥AQ，設(shè)直線l的方程為y=kx+t（t≠1），聯(lián)立

y=kx+t x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6ktx+3（t²-1）=0．由

AP

•

AQ

=0，利用韋達(dá)定理證明直線l過定點(diǎn)(0，-

1

2

)．

解答： （I）解：圓M的圓心為（3，1），半徑r=

3

．…（2分）
由題意知A（0，1），F(xiàn)（c，0），
直線AF的方程為

x

c

+y=1，即x+cy-c=0，…（4分）
由直線AF與圓M相切，得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，
解得c²=2，a²=c²+1=3，
故橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）證法一：由

AP

•

AQ

=0知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，
故可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1，
直線AQ的方程為y=-

1

k

x+1．
聯(lián)立

y=kx+1 x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6kx=0，…（7分）
解得x=0或x=

-6k

1+3k2

，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

-6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

)，
同理，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(

6k

k2+3

，

k2-3

k2+3

)，…（9分）
∴直線l的斜率為

k2-3 k2+3 - 1-3k2 1+3k2

6k k2+3 - -6k 1+3k2

=

k2-1

4k

，…（10分）
∴直線l的方程為y=

k2-1

4k

(x-

6k

k2+3

)+

k2-3

k2+3

，
即y=

k2-1

4k

x-

1

2

．…（11分）
所以直線l過定點(diǎn)(0，-

1

2

)．…（12分）
（Ⅱ）證法二：由

AP

•

AQ

=0，知AP⊥AQ，從而直線PQ與x軸不垂直，
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+t（t≠1），
聯(lián)立

y=kx+t x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6ktx+3（t²-1）=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

-6kt

1+3k2

，x1x2=

3(t2-1)

1+3k2

，（*）
由△=（6kt）²-4（1+3k²）×3（t²-1）＞0，得3k²＞t²-1．…（9分）
由

AP

•

AQ

=0，
得

AP

•

AQ

=(x1，y1-1)•(x2，y2-1)=(1+k2)x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0，
將（*）代入，得t=-

1

2

，…（11分）
所以直線l過定點(diǎn)(0，-

1

2

)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．