Question

已知圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線l：y=kx，且l與C相交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0，b），且MP⊥MQ．
（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，求k的值；
（Ⅱ）當(dāng)，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）圓C：（x-1）²+（y-1）²=1，當(dāng)b=1時(shí)，點(diǎn)M（0，b）在圓C上，
當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過圓心C時(shí)，滿足MP⊥MQ．…（2分）
∵圓心C的坐標(biāo)為（1，1），∴k=1．…（4分）
（Ⅱ）由 ，消去y得：（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0．①
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴．…（6分）
∵M(jìn)P⊥MQ，∴．
∴（x₁，y₁-b）•（x₂，y₂-b）=0，即 x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0．
∵y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴（kx₁-b）（kx₂-b）+x₁x₂=0，即．…（8分）
∴，即 ．
令，則f（b）在區(qū)間上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)時(shí)，．…（11分）
∴．
即 ，解得 ，
∴或．…（13分）
由①式得△=[2（1+k）]²-4（1+k²）＞0，解得k＞0．
∴，或．
∴k的取值范圍是．…（14分）
分析：（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，點(diǎn)M（0，b）在圓C上，當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過圓心C時(shí)，滿足MP⊥MQ．把圓心坐標(biāo)（1，1）代入直線l：y=kx，可得k的值．
（Ⅱ）把直線l的方程代入圓的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及，求得．令，則f（b）
在區(qū)間上單調(diào)遞增，求得，可得 ，解此不等式求得k的取值范圍（注意檢驗(yàn)△＞0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．