15．已知函數(shù)f（x）=ax+xln x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a≥-lnx-1在[e，+∞）上恒成立，設(shè)g（x）=-lnx-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：因?yàn)閒（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f'（x）=lnx-1，令f'（x）=0，得x=e．
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞e時(shí)，f'（x）＞0；
所以函數(shù)f（x）=-2x+xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞增區(qū)間是（e，+∞）．
（2）因?yàn)閒（x）在[e，+∞）上為增函數(shù)，
所以f'（x）≥0，即a≥-lnx-1在[e，+∞）上恒成立．
設(shè)g（x）=-lnx-1，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=-lnx-1在[e，+∞）上為減函數(shù)，
所以g（x）max=g（e）=-lne-1=-2，
所以a≥-2．故a的取值范圍是[-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ax2（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)，且y=f′（x）有零點(diǎn)，求a的值；
（2）若對(duì)?x∈[0，+∞），有$\frac{f（x）}{ax+1}$≥1，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

6．已知點(diǎn)M是圓E：（x+1）2+y2=8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段MF的垂直平分線交ME于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

3．某學(xué)校有2500名學(xué)生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線ax+by+8=0與以A（1，-1）為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BAC=120°，則圓C的方程為（　�。�
A．（x-1）2+（y+1）2=1B．（x-1）2+（y+1）2=2C．（x-1）2+（y+1）2=$\frac{18}{17}$D．（x-1）2+（y+1）2=$\frac{12}{15}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x$
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若$a=-\frac{1}{2}$，且關(guān)于x的方程$f（x）=-\frac{1}{2}x+b$在[1，4]恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．
 $\overline{x}$ $\overrightarrow{y}$ $\overline{w}$ $\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2 $\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2$\sum_{i=1}^{8}$ （xi-$\overrightarrow{x}$）（yi-$\overline{y}$） $\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\overline{w}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8{w_i}$．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與$y=c+d\sqrt{x}$哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x．根據(jù)（2）的結(jié)果要求：年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn）其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{u_i}-\bar u}）（{{v_i}-\bar v}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{u_i}-\bar u}）}^2}}}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．已知渡船在靜水中速度$\overrightarrow{v_2}$的大小為$（\sqrt{6}+\sqrt{2}）$m/s，河水流速$\overrightarrow{v_1}$的大小為2m/s．如圖渡船船頭方向與水流方向成$\frac{π}{4}$夾角，且河面垂直寬度為$600（\sqrt{3}+1）m$．
（Ⅰ）求渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角；
（Ⅱ）求渡船過河所需要的時(shí)間．[提示：4+2$\sqrt{3}={（\sqrt{3}+1）^2}$]．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．已知等比數(shù)列{an）滿足an+1+an=3•2n-1，n∈N*，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式Sn＞kan-2對(duì)一切n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，$\frac{5}{3}$）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．設(shè)橢圓x2+2y2=8與y軸相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），直線y=kx+4與該橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y=1與BM交于G．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求證：A，G，N三點(diǎn)共線．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案