Question

4．已知等比數(shù)列{a_n）滿足a_n+1+a_n=3•2^n-1，n∈N*，設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若不等式S_n＞ka_n-2對一切n∈N*恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為（-∞，$\frac{5}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的定義推知公比q=2，然后由等比數(shù)列的通項公式得到a_n=3•2^n-1，n∈N^*．進而根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求得S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{3（1-2n）}{1-2}$=3（2ⁿ-1）；最后由不等式的性質和函數(shù)的單調(diào)性來求k的取值范圍即可．

解答 解：設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a_n+1+a_n=3•2^n-1，n∈N^*，
∴a₂+a₁=3，a₃+a₂=6，
∴q=$\frac{{a}_{3}+{a}_{2}}{{a}_{2}+{a}_{1}}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴2a₁+a₁=3，
∴a₁=1．
∴a_n=2^n-1，n∈N^*．
則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{3（1-2n）}{1-2}$=3（2ⁿ-1），
∴3（2ⁿ-1）＞k•3•2^n-1-2，
∴k＜2-$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$．
令f（n）=2-$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$，則f（n）隨n的增大而增大，
∴f（n）_min=f（1）=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴k＜$\frac{5}{3}$．
∴實數(shù)k的取值范圍為（-∞，$\frac{5}{3}$）．
故答案是：（-∞，$\frac{5}{3}$）．

點評 本題考查了數(shù)列與不等式的綜合．根據(jù)已知等式a_n+1+a_n=3•2^n-1和等比數(shù)列的定義以及等比數(shù)列的前n項和公式推知a_n=3•2^n-1，n∈N^*．S_n=3（2ⁿ-1）是解題的關鍵，考查計算能力．