已知函數(shù)f(x)=
x2
2
-(1+2a)x+
4a+1
2
ln(2x+1)
,a>0.
(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)在x=2取得極小值,求a的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)a>
1
4
時(shí),若存在x0∈(
1
2
,+∞),使得f(x0)<
1
2
-2a2
,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)先求導(dǎo),利用函數(shù)f(x)在x=2取得極小值,則f'(x)=0,解a.
(Ⅱ)解導(dǎo)數(shù)不等式f'(x)>0或f'(x)<0,判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅲ)將不等式轉(zhuǎn)化為最值恒成立問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?span id="gmioumk" class="MathJye">(-
1
2
,+∞),且f'(x)=x-(1+2a)+
4a+1
2x+1
,…(1分)
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=2取得極小值,所以f'(2)=0,
即f'(2)=2-(1+2a)+
4a+1
4+1
=0,.…(2分)
解得a=1.…(3分)
經(jīng)檢驗(yàn):a=1時(shí),函數(shù)f(x)在x=2取得極小值,所以a=1.…(4分)
(Ⅱ)f'(x)=x-(1+2a)+
4a+1
2x+1
=
(2x+1)(x-1-2)+4a+1
2x+1
=
(2x-1)(x-2a)
2x+1

令f'(x)=0,則x=
1
2
或x=2a…(6分)
i、當(dāng)2a>
1
2
,即a>
1
4
時(shí),
x (-
1
2
1
2
1
2
1
2
,2a)
2a (2a,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x)
所以f(x)的增區(qū)間為(-
1
2
,
1
2
)和(2a,+∞),減區(qū)間為(
1
2
,2a)…(7分)
ii、當(dāng)2a=
1
2
,即a=
1
4
時(shí),f'(x)=
(2x-1)2
2x+1
≥0在(-
1
2
,+∞)上恒成立,
所以f(x)的增區(qū)間為(-
1
2
,+∞)                     …(8分)
iii、當(dāng)0<2a<
1
2
,即0<a<
1
4
時(shí),
x (-
1
2
,2a)
2a (2a,
1
2
1
2
1
2
,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x)
所以f(x)的增區(qū)間為(-
1
2
,2a)和(
1
2
,+∞),減區(qū)間為(2a,
1
2
)…(9分)
綜上所述:
0<a<
1
4
時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-
1
2
,2a)和(
1
2
,+∞),減區(qū)間為(2a,
1
2
)a=
1
4
時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-
1
2
,+∞)a>
1
4
時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-
1
2
,
1
2
)和(2a,+∞),減區(qū)間為(
1
2
,2a)
(Ⅲ)由題意,a>
1
4
時(shí),存在x0∈(
1
2
,+∞),f(x0)<
1
2
-2a2
,即a>
1
4
時(shí),f(x)在(
1
2
,+∞)上的最小值小于
1
2
-2a2
.…(10分)
由(Ⅱ)a>
1
4
時(shí),f(x)在(
1
2
,2a)上遞減,在(2a,+∞)上遞增,f(x)在(
1
2
,+∞)上的最小值為f(2a),…(11分)
所以f(2a)<
1
2
-2a2
,
2a2-2a(1+2a)+
4a+1
2
ln(4a+1)
1
2
-2a2
…(12分)
化簡(jiǎn)得ln(4a+1)<1,4a+1<e,a<
e-1
4
,
又a>
1
4
,所以
1
4
<a<
e-1
4
,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(
1
4
e-1
4
)
.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問(wèn)題,對(duì)應(yīng)含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題,往往轉(zhuǎn)化為最值恒成立.實(shí)質(zhì)是求函數(shù)的最大值或最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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