Question

12．如圖所示，A是函數(shù)f（x）=2^x的圖象上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線平行于x軸，交函數(shù)g（x）=2^x+2的圖象于點(diǎn)B，若函數(shù)f（x）=2^x的圖象上存在點(diǎn)C使得△ABC為等邊三角形，則稱A為函數(shù)f（x）=2^x上的好位置點(diǎn)．函數(shù)f（x）=2^x上的好位置點(diǎn)的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 大于2

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)出A、B、C的坐標(biāo)，由線段AB∥x軸，△ABC是等邊三角形，x=log₂（m-$\sqrt{3}$）=log₂m-1，求出m的值，計算出結(jié)果．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)A，B的縱坐標(biāo)為m，
則A（log₂m，m），B（log₂m-2，m），
∴AB=log₂m-log₂m+2=2，
設(shè)C（x，2^x），
∵△ABC是等邊三角形，
∴點(diǎn)C到直線AB的距離為$\sqrt{3}$，
∴m-2^x=$\sqrt{3}$，
∴x=log₂（m-$\sqrt{3}$），
∴x=$\frac{1}{2}$（log₂m+log₂m-2）=log₂m-1，
∴l(xiāng)og₂（m-$\sqrt{3}$）=log₂m-1=log₂$\frac{m}{2}$，
∴m-$\sqrt{3}$=$\frac{m}{2}$，
解得m=2$\sqrt{3}$，
∴x=log₂（m-$\sqrt{3}$）=log₂$\sqrt{3}$，
函數(shù)f（x）=2^x上的好位置點(diǎn)的個數(shù)為1個，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了指數(shù)，對數(shù)的運(yùn)算問題，屬于中檔題．