Question

2．如圖，線段AB長度為2，點(diǎn)A，B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上滑動，以線段AB為一邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍是[0，3]．

Answer 1

分析 設(shè)∠BAO=θ，則∠CAx=120°-θ，OA=2cosθ，OB=2sinθ，求得點(diǎn)B（0，2sinθ），點(diǎn)C（2cosθ+2cos（120°-θ），2sin（120°-θ），計(jì)算$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$范圍．

解答 解：設(shè)∠BAO=θ，則∠CAx=120°-θ，
∴OA=2cosθ，OB=2sinθ，
∴點(diǎn)B（0，2sinθ），由此可得點(diǎn)C（2cosθ+2cos（120°-θ），2sin（120°-θ））．
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$=4sinθsin（120°-θ）=4sinθ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）
=2$\sqrt{3}$sinθcosθ+2sin²θ=$\sqrt{3}sin2θ$+1-cos2θ=2sin（2θ$-\frac{π}{6}$）+1，
因?yàn)?0≤θ＜\frac{π}{2}$，所以$-\frac{π}{6}$≤2θ$-\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，所以-1≤2sin（2θ$-\frac{π}{6}$）≤2，
故$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍為[0，3]．
故答案為：[0，3]．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式以及三角函數(shù)式化簡，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵，屬于中檔題．