Question

10．如圖，三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，M，N分別是PE，PF上的點．
（1）M，N分別是PE，PF的中點時，求證：MN∥平面ABC．
（2）當MN∥平面ABC時，求證：MN∥AC．

Answer 1

分析 （1）連接EF，由M，N分別是PE，PF的中點，可得MN∥EF，結(jié)合線面平行的判斷可得MN∥平面ABC．
（2）由E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，可得EF∥AC，由線面平行的性質(zhì)得MN∥EF，再由平行公理可得MN∥AC．

解答 證明：（1）如圖，連接EF，
∵M，N分別是PE，PF的中點，
∴MN為△PEF的中位線，
∴MN∥EF，
又EF?平面ABC，MN?平面ABC，
∴MN∥平面ABC．
（2）∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，
∴EF為△ABC的中位線，
∴EF∥AC，
由MN∥平面ABC，MN?平面PEF，且平面PEF∩平面ABC=EF，
∴MN∥EF，
∴MN∥AC．

點評 本題考查直線與平面平行的判定和性質(zhì)，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．