Question

18．（1）若命題“?x∈R，2x²-3ax+9＜0”為假命題，求實數a的取值范圍；
（2）設p：|4x-3|≤1，命題q：x²-（2m+1）x+m（m+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據特稱命題為假命題，轉化為命題的否定為真命題，利用判別式△進行求解即可．
（2）根據絕對值的性質和十字相乘法分別求出命題p和q，再根據￢p是￢q的必要而不充分條件，可以推出p⇒q，再根據子集的性質進行求解；

解答 解：（1）若命題“?x∈R，2x²-3ax+9＜0”為假命題，
即命題“?x∈R，2x²-3ax+9≥0”為真命題，
則判別式△=9a²-4×2×9≤0，
則a²≤8，
即-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$，
即實數a的取值范圍是[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．
（2）∵p：|4x-3|≤1；p：-1≤4x-3≤1，解得$\frac{1}{2}$≤x≤1，
由x²-（2m+1）x+m（m+1）≤0得m≤x≤m+1，
若￢p是￢q的必要而不充分條件，
則￢q⇒￢p，￢p推不出￢q，可得p⇒q，q推不出p，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1≥1}\\{m≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得0≤m≤$\frac{1}{2}$，驗證m=0和m=$\frac{1}{2}$滿足題意，
∴實數m的取值范圍為：m∈[0，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查充分條件必要條件的應用以及命題真假性的判斷和應用，本題求解中涉及到了一元二次方程有根的條件，及集合間的包含關系，有一定的綜合性．