Question

已知橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

3

，且經(jīng)過點（1，

6

2

），拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點F與橢圓C₁的一個焦點重合．
（1）過F的直線與拋物線C₂交于M，N兩點，過M，N分別作拋物線C₂的切線l₁，l₂，求直線l₁，l₂的交點Q的軌跡方程；
（2）從圓O：x²+y²=5上任意一點P作橢圓C₁的兩條切線，切點為A、B，試問∠APB的大小是否為定值，若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)可得方程．設直線MN的方程為：y=kx+1，與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，再利用導數(shù)的幾何意義可得切線的方程，聯(lián)立解得即可．
（2）當兩條切線的斜率都存在且不為0時，設P（m，n），切線方程為y-n=k（x-m），則m²+n²=5．把切線方程與橢圓方程聯(lián)立可得△=0，進而得出k₁k₂+1=0，即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

3

，且經(jīng)過點（1，

6

2

），
∴

c a = 3 3 6 4a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，解得c=1，a²=3，b²=2．
∴橢圓C₁的方程為

y2

3

+

x2

2

=1．
∵拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點F與橢圓C₁的一個焦點重合．
∴F（0，1），可得拋物線的方程為x²=4y．
設直線MN的方程為：y=kx+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，化為x²-4kx-4=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
由x²=4y可得y′=

1

2

x．
∴切線l₁的方程為：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，化為y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

．
切線l₂的方程為：y-

x 2 2

4

=

1

2

x2(x-x2)，化為y=

1

2

x2x-

1

4

x

2 2

．
聯(lián)立解得x=

x1+x2

2

=2k，y=

1

4

x₁x₂=-1．
∴直線l₁，l₂的交點Q的軌跡方程為y=-1．
（2）當兩條切線的斜率都存在且不為0時，設P（m，n），
切線方程為y-n=k（x-m），則m²+n²=5．
聯(lián)立

y=kx+n-km 2y2+3x2=6

，
化為（2k²+3）x²+4k（n-km）x+2（n-km）²-6=0，
∴△=0，
化為（2-m²）k²+2mnx+3-n²=0，
∴k₁k₂=

3-n2

2-m2

，
∴k₁k₂+1=

5-m2-n2

2-m2

=0，
可得∠APB=90°．
當條切線的斜率不存在或為0時，即可得出∠APB=90°．
綜上可得：從圓O：x²+y²=5上任意一點P作橢圓C₁的兩條切線，切點為A、B，∠APB=90°為定值．

點評：本題綜合考查了橢圓與拋物線及圓的標準方程及其性質(zhì)可得方程、直線與橢圓拋物線相交及相切轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、及其△與0的關系，考查了導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，考查了推理能力與計算能力，考查了分類討論的思想方法，屬于難題．