Question

12．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.（θ$為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=\frac{3+3t}{4}}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)）．
（1）將曲線C₁，C₂的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）求曲線C₁上的點到曲線C₂的距離的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，將曲線C₁，C₂的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）點P到直線3x-4y+12=0的距離d為：$d=\frac{|6cosθ-4sinθ+12|}{5}=\frac{{|2\sqrt{13}cos（θ+φ）+12|}}{5}$，即可求曲線C₁上的點到曲線C₂的距離的最大值和最小值．

解答 解：（1）曲線C₁的普通方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，曲線C₂的普通方程為3x-4y+12=0；
（2）設(shè)點P（2cosθ，sinθ）為曲線C₁任意一點，
則點P到直線3x-4y+12=0的距離d為：$d=\frac{|6cosθ-4sinθ+12|}{5}=\frac{{|2\sqrt{13}cos（θ+φ）+12|}}{5}$，
因為cos（θ+φ）∈[-1，1]，所以$d∈[\frac{{12-2\sqrt{13}}}{5}，\frac{{12+2\sqrt{13}}}{5}]$，
即曲線C₁上的點到曲線C₂的距離的最大值為$\frac{{12+2\sqrt{13}}}{5}$，最小值為$\frac{{12-2\sqrt{13}}}{5}$．

點評 本題考查參數(shù)方程化為普通方程，考查參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．