Question

12．若不等式（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-m≥0在x∈（-∞，1]時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{6}$]．

Answer 1

分析 分離變量，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

解答 解：不等式（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x-m≥0，可得不等式（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x≥m，在x∈（-∞，1]時(shí)恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)y=（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x，在x∈（-∞，1]是減函數(shù)，函數(shù)的最小值為：f（1）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是：（-∞，$\frac{5}{6}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{5}{6}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．