Question

2．已知（1ncosx）′=-tanx，則由曲線y=sin2x與y=tanx（-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$）圍成的封閉圖形的面積為1-ln2．

Answer 1

分析 先令tanx=sin2x，解得x=$\frac{π}{4}$或x=-$\frac{π}{4}$，得到積分區(qū)間，再根據(jù)公式計算．

解答 解：當-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$時，令tanx=sin2x，
解得x=$\frac{π}{4}$或x=-$\frac{π}{4}$，
兩函數(shù)圖象圍成封閉圖形如右圖：
兩部分面積相等，所以只需計算右側(cè)部分，即
S_陰影=2×${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（sin2x-tanx）dx
=2（-$\frac{1}{2}$cos2x+lncosx）${|}_{0}^{\frac{π}{4}}$
=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$ln2）
=1-ln2．
故答案為：1-ln2．

點評 本題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，涉及正弦函數(shù)，正切函數(shù)的定積分運算，屬于中檔題．