Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=p（p是不等于0的常數(shù)），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若對任意的正整數(shù)n都有S_n=．
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）記b_n=，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）記c_n=T_n-2n，是否存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，恒有c_n∈（，3），若存在，請證明你的結(jié)論，并給出一個具體的N值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由S₁=a₁==0得a₁=0，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-a_n-1，
故（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
故當(dāng)n＞2時，a_n=a_n-1=••••••a₂=（n-1）p，
由于n=2時a₂=p，n=1時a₁=0，也適合該式，故對一切正整數(shù)n，a_n=（n-1）p，a_n+1-a_n=p，
由于p是常數(shù)，故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（2）S_n==，
b_n==+=2+2（-），
∴T_n=2n+2（1-+-+-+-++-+-）
=2n+2（1+--）
=2n+3-2（+）．
（3）c_n=T_n-2n=3-2（+）＜3對所有正整數(shù)n都成立；
若c_n＞，即3-2（+）＞?+＜，
記f（n）=+，
則f（n）單調(diào)遞減，又
f（6）=+＞+=，
f（7）=+＜+=，
故只要取N=6，則當(dāng)n＞N時，f（n）＜．
故存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，恒有c_n∈（，3）．N可以取所有不小于6的正整數(shù)．
分析：（1）先利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出數(shù)列的遞推關(guān)系式（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，再通過一步步代換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后看是否滿足等差數(shù)列的定義即可證明結(jié)論．
（2）先對數(shù)列的通項(xiàng)整理得b_n=2+2（-），再利用分組求和法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n即可；
（3）先由c_n=T_n-2n=3-2（+）知其小于3對所有正整數(shù)n都成立；下面把c_n＞轉(zhuǎn)化為+＜，利用函數(shù)的單調(diào)性求出滿足條件的n的范圍即可求出對應(yīng)的N值．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的求和以及數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用和數(shù)列與不等式的綜合，是對知識的綜合考查，屬于難題．