如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為2的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分別為PB,PD的中點.

(1)證明:MN∥平面ABCD;
(2) 過點A作AQ⊥PC,垂足為點Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.
(1)只需證 MN∥BD;(2)。

試題分析:(1)如圖,連接BD.∵M,N分別為PB,PD的中點,∴在△PBD中,MN∥BD.
又MN?平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.
(2)如圖建系:A(0,0,0),P(0,0,2),M,N(,0,),C(,3,0).
設(shè)Q(x,y,z),則C=(x-,y-3,z),C=(-,-3,2).
∵C=λC=(-λ,-3λ,2λ),∴Q(λ,3-3λ,2λ).
由A⊥C⇒A·C=0,得λ=.即:Q
對于平面AMN:設(shè)其法向量為n=(a,b,c).
∵A,A=(,0,).

∴n=.
同理對于平面QMN,得其法向量為v=
記所求二面角A-MN-Q的平面角大小為θ,則cosθ=.
∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為.
點評:二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運用向量法求二面角應(yīng)注意的是計算。很多同學(xué)都會應(yīng)用向量法求二面角,但結(jié)果往往求不對,出現(xiàn)的問題就是計算錯誤。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形,底面
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若直線PC與平面PDE所成角為,求三棱錐高的大小。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,

(I)求證
(II)

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在直三棱柱中,

(1)求異面直線 與所成角的大;
(2)求多面體的體積。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面底面,若、分別為的中點.

(Ⅰ) 求證://平面;
(Ⅱ) 求證:平面平面;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖(1),是等腰直角三角形,其中,分別為的中點,將沿折起,點的位置變?yōu)辄c,已知點在平面上的射影的中點,如圖(2)所示.

(1)求證:
(2)求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,正方形所在的平面與正方形所在的平面相垂直,、分別是、的中點.

(1)求證:面;
(2)求直線與平面所成的角正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知m、n是兩條不重合的直線,α、β是兩個不重合的平面,下列命題中正確的是(  )
A.若m∥α,n∥β,α∥β,則m∥nB.若m∥n,nÌα,m(/α,則m∥α
C.若α⊥β,m⊥α,則m∥βD.若m⊥α,nÌβ,m⊥n,則α⊥β

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

經(jīng)過空間任意三點作平面(   )
A.只有一個B.可作二個
C.可作無數(shù)多個D.只有一個或有無數(shù)多個

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