Question

如圖，六棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，底面。
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若直線(xiàn)PC與平面PDE所成角為，求三棱錐高的大小。

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）由線(xiàn)線(xiàn)垂直得到線(xiàn)面垂直CD⊥平面PAC，進(jìn)而求證出面面垂直；（Ⅱ）由已知條件求出S_△PCD和S_△BCD，再利用等體積法求出三棱錐B-PCD的高.
試題解析：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，CD⊥AC．
因?yàn)镻A⊥底面ABCDEF，CDÌ平面ABCDEF，所以CD⊥PA． 
又AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC．
因?yàn)镃DÌ平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．

（Ⅱ）直線(xiàn)PC與底面ABCDEF所成的角∠PCA＝45°．
在Rt△PAC中，AC＝，所以PA＝，PC＝，
即三棱錐P-BCD的高為，
S_△PCD＝PC·CD＝，S_△BCD＝BC·CD sin120°＝，
設(shè)三棱錐B-PCD高為h，由V_P-BCD＝V_B-PCD，得：
S_△BCD·PA＝S_△PCD·h，
經(jīng)計(jì)算可得：h＝，
所以三棱錐B-PCD高為．