Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足：。
（1）求的通項(xiàng)公式
（2）當(dāng)時(shí)，求證：

Answer 1

（1），猜測(cè)：。用數(shù)學(xué)歸納法證明。
（2）即證：

試題分析：（1），猜測(cè)：。下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)，猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即，
由條件，
，
兩式相減得：，則當(dāng)時(shí)，
，
時(shí)，猜想也成立。
故對(duì)一切的成立。
（2），即證：
對(duì)，令（），則
，
顯然，，所以，
所以，在上單調(diào)遞減．
由，得，即．
所以，．       
所以


．  得證。
點(diǎn)評(píng)：難題，歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題。歸納推理問(wèn)題，往往與數(shù)列知識(shí)相結(jié)合，需要綜合應(yīng)用數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等求解。本題利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，對(duì)數(shù)學(xué)式子變形能力要求較高。