Question

15．設函數(shù)f（x）=lnx-x+1．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明當x∈（1，+∞）時，lnx＜x-1＜xlnx．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）由（1）求出lnx＜x-1，設F（x）=xlnx-x+1，x＞1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出F（x）＞0，證明結論即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-x+1的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．
即有f（x）的增區(qū)間為（0，1）；減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）證明：當x∈（1，+∞）時，
由（1）可得f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）遞減，
可得f（x）＜f（1）=0，即有l(wèi)nx＜x-1；
設F（x）=xlnx-x+1，x＞1，F(xiàn)′（x）=1+lnx-1=lnx，
當x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，可得F（x）遞增，
即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x-1，則原不等式成立；

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．