Question

20．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，各個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形面積為2$\sqrt{3}$．
（1）求C的方程；
（2）過右頂點(diǎn)A的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
①若|AB|=$\frac{4\sqrt{15}}{7}$，求l的方程；
②點(diǎn)P（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=3，求y₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件列方程組，解出a，b；
（2）①設(shè)l斜率為k，與橢圓聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式列方程解出k；
②利用根與系數(shù)的關(guān)系和中垂線的性質(zhì)得出B點(diǎn)坐標(biāo)和AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，用k表示出y₀，根據(jù)向量的數(shù)量積列方程解出k即可得出y₀．

解答 解：（1）由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{2ab=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）①A（$\sqrt{3}$，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得：（1+3k²）x²-6$\sqrt{3}$k²x+9k²-3=0，
設(shè)B（x₁，y₁），∵x=$\sqrt{3}$是此方程的一個(gè)解，∴x₁=$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•（$\sqrt{3}$-x₁）=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{15}}{7}$，解得k²=$\frac{1}{4}$，
∴k=±$\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為y=±$\frac{1}{2}$（x-$\sqrt{3}$）．
②由①知B（$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{-2\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$），設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則D（$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{-\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$），
∴k_PD=$\frac{\frac{-\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}-{y}_{0}}{\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}}=-\frac{1}{k}$，解得y₀=$\frac{2\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{-2\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{3\sqrt{3}{k}^{2}-\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{-4\sqrt{3}k}{1+3{k}^{2}}$），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{9{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$+$\frac{24{k}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$=3，化簡得9k⁴+8k²-1=9k⁴+6k²+1，解得k²=1，
∴k=±1，
∴y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或y₀=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．