Question

已知圓C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直線4x－3y－16＝0過(guò)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，且被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，點(diǎn)A(3,1)在橢圓E上．

(1)求m的值及橢圓E的方程；

(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的取值范圍．

 

Answer 1

（1）m＝4 ＋＝1

（2）[－12,0]

【解析】(1)因?yàn)橹本�4x－3y－16＝0被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心C(4，m)到直線4x－3y－16＝0的距離為＝，

即＝，解得m＝4或m＝－4(舍去)．

又直線4x－3y－16＝0過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)，所以橢圓E的右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(4,0)，則其左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(－4,0)．

因?yàn)闄E圓E過(guò)A點(diǎn)，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，

所以2a＝5＋＝6，所以a＝3，a2＝18，b2＝2，

故橢圓E的方程為＋＝1．

(2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以＝(1,3)，設(shè)Q(x，y)，則＝(x－3，y－1)，則·＝x＋3y－6．令x＋3y＝n，

則由，消去x得18y2－6ny＋n2－18＝0．

因?yàn)橹本�x＋3y＝n與橢圓E有公共點(diǎn)，

所以Δ＝(－6n)2－4×18×(n2－18)≥0，

解得－6≤n≤6，故·＝x＋3y－6的取值范圍為[－12,0]．