Question

圓M：x²+y²-4x-2y+4=0
（1）若圓M的切線在x軸上的截距是y軸上的截距的2倍，求切線的方程；
（2）從圓外一點(diǎn)P（a，b），向該圓引切線PA，切點(diǎn)為A，且PA=PO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：以PM為直徑的圓過(guò)異于M的定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)

Answer 1

分析：①首先對(duì)切線分兩種情況討論，過(guò)原點(diǎn)時(shí)與不過(guò)原點(diǎn)時(shí)．然后分別設(shè)出直線，根據(jù)切線在x軸上的截距是y軸上的截距的2倍建立等式，分別求出切線方程．
②根據(jù)PA²=PO²，得到a，b的關(guān)系式2a+b=2，然后表示出以PM為直徑的圓方程．通過(guò)對(duì)該圓的方程的分析，求出其通過(guò)的定點(diǎn)即可．

解答：解：（1）當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線為y=kx，
由

|2k-1|

1+k2

=1
得k=

4

3

，k=0（舍）
當(dāng)切線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，
設(shè)切線為

x

2a

+

y

a

=1
即x+2y=2a，
由

|2+2-2a|

5

=1
得2a=4±

5

6′，
所以所求的切線方程為y=

4

3

x，x+2y=4±

5

（2）由條件PA²=PO²，
得（a-2）²+（b-1）²=a²+b²
得2a+b=2
以PM為直徑的圓方程為x²+y²-（2+a）x-（b+1）y+b+2a=0
12′x²+y²-（2+a）x-（3-2a）y+2=0

x-2y=0 x2+y2-2x-3y+2=0

y=1 x=2

y= 2 5 x= 4 5

所以異于M的定點(diǎn)為(

4

5

，

2

5

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系-相切，以及當(dāng)直線與圓相切時(shí)的性質(zhì)．通過(guò)兩個(gè)小題不同的條件分別分析求解．本題在考查性質(zhì)的同時(shí)也考查了運(yùn)算能力以及對(duì)題目整體的把握．