如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．
（1）證明：AC⊥PB；
（2）若數(shù)學(xué)公式，求二面角P-AC-D的正切值．

（1）證明：連接BD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC，
∵BD∩PD=D
∴AC⊥平面PDB，
又∵PB?平面AEC，∴AC⊥PB；
（2）解：設(shè)BC=1，則PC=
在直角△PDC中，PD=
設(shè)AC∩BD=E，連接PE
由（1）知，AC⊥平面PDB，∵PE?平面PDB，∴AC⊥PE
∵AC⊥ED，∴∠PED為二面角P-AC-D的平面角
在直角△PDE中，DE=，PD=，∴tan∠PED=
∴二面角P-AC-D的正切值為2．
分析：（1）連接BD，證明AC⊥BD，PD⊥AC，利用線面垂直的判定可得AC⊥平面PDB，從而可得AC⊥PB；
（2）設(shè)AC∩BD=E，連接PE，證明∠PED為二面角P-AC-D的平面角，在直角△PDE中，可求二面角P-AC-D的正切值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線線垂直，考查面面角，掌握線面垂直的判定，正確作出面面角是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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