若函數(shù)f（x），g（x）滿足g（x-y）=g（x）g（y）+f（x）f（y），并且f（0）=0，f（-1）=-1，f（1）=1．
（1）證明：f2（x）+g2（x）=g（0）．
（2）求g（0），g（1），g（-1），g（2）的值．
（3）判斷f（x），g（x）的奇偶性．
（1）證明：令y=x，g（0）=f2（x）+g2（x）；
（2）∵g（0）=g2（0）+f2（0），
∴g（0）=0或1；
若g（0）=0，則由（1）可知f（x）=g（x）=0，與題設矛盾，
故g（0）=1．
又g（0）=g（1）g（1）+f（1）f（1），
g（0）=g（-1）g（-1）+f（-1）f（-1），
故g（1）=0，g（-1）=0，令x=1，y=-1，
g（2）=g（1）g（-1）+f（1）f（-1），g（2）=-1．
（3）g（y-x）=g（y）g（x）+f（y）f（x）=g（x-y），
故g（x）是偶函數(shù)；
用-x，-y 替換x，y，g（y-x）=g（-x）g（-y）+f（-x）f（-y），g（x）是偶函數(shù)，
與原式聯(lián)立可得f（-x）f（-y）=f（x）f（y），令y=1，可得f（x）=-f（-x）．
∴f（x）是奇函數(shù)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

定義在R上的函數(shù)滿足，則的值為
（   ）
A．-1B．0C．1D．2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

當x在實數(shù)集R上任取值時，函數(shù)f（x）相應的值等于2x、2、-2x三個之中最大的那個值．
（1）求f（0）與f（3）；
（2）畫出f（x）的圖象，寫出f（x）的解析式；
（3）證明f（x）是偶函數(shù)；
（4）寫出f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）滿足：f（p+q）=f（p）•f（q），f（1）=2，則：
f(2)
f(1)
+
f(4)
f(3)
+
f(6)
f(5)
+
f(8)
f(7)
+…+
f(2014)
f(2013)
=______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)f（x）對任意xy∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＞0，且f（1）=2
（1）求f（0），f（-1）的值
（2）求證：f（x）是奇函數(shù)
（3）試問在-2≤x≤4時，f（x）是否有最值；如果沒有，說出理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在直角坐標系中，如果兩點A（a，b），B（-a，-b）函數(shù)y=f（x）的圖象上，那么稱[A，B]為函數(shù)f（x）的一組關于原點的中心對稱點（[A，B]與[B，A]看作一組）．函數(shù)g（x）=
cos
π
2
x，x≤0
log4(x+1)，x＞0
關于原點的中心對稱點的組數(shù)為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

某網(wǎng)店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，第x天（1≤x≤20，x∈N）的銷售價格（單位：元）為p=
44+x，1≤x≤6
56-x，6＜x≤20
，第x天的銷售量為q=
48-x，1≤x≤8
32+x，8＜x≤20
，已知該商品成本為每件25元．
（Ⅰ）寫出銷售額t關于第x天的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）求該商品第7天的利潤；
（Ⅲ）該商品第幾天的利潤最大？并求出最大利潤．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）=10x，對于實數(shù)m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），則p的最大值等于______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，若不等式f(x)＞0的解集為(－1,3)．
(1)求a，b的值；
(2)若函數(shù)f(x)在x∈[m,1]上的最小值為1，求實數(shù)m的值．

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同步練習冊答案