Question

16．已知函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，且f（sinω）+f（-cosω）＞f（-sinω）+f（cosω），其中ω是銳角，并且使得g（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）在（$\frac{π}{2}$，π）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{π}{4}$，$\frac{5}{4}$]
• B． [$\frac{5}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{π}{4}$）
• D． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)，sinω與cosω的關(guān)系要么sinω＞cosω，要么sinω≤cosω，根據(jù)已知條件容易判斷出sinω＞cosω，由ω為銳角便得到$\frac{π}{4}$＜ω＜$\frac{π}{2}$，而由g（x）在（$\frac{π}{2}$，π）單調(diào)遞減便得到g′（x）=ωcos（ωx+$\frac{π}{4}$）≤0在（$\frac{π}{2}$，π）內(nèi)恒成立，所以得到cos（ωx+$\frac{π}{4}$））≤0在（$\frac{π}{2}$，π）內(nèi)恒成立，所以函數(shù)cos（ωx+$\frac{π}{4}$）的周期$T=\frac{2π}{ω}≥π$，所以$\frac{π}{4}＜ω≤2$，根據(jù)此時(shí)的ω范圍可得到ω只需再滿足πω+$\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{2}$，即可得到ω的范圍．

解答 解：①若sinω＞cosω，則-cosω＞-sinω；
∵f（x）是R上的增函數(shù)；∴f（sinω）＞f（cosω），f（-cosω）＞f（-sinω）；
∴符合f（sinω）+f（-cosω）＞f（cosω）+f（-sinω）；
∵ω是銳角；∴$\frac{π}{4}$＜ω＜$\frac{π}{2}$；
②若sinω≤cosω，則-cosω≤-sinω；
∴f（sinω）+f（-cosω）≤f（cosω）+f（-sinω），顯然與已知矛盾，即這種情況不存在；
由g′（x）=ωcos（ωx+$\frac{π}{4}$）；
∴由已知條件知，cos（ωx+$\frac{π}{4}$）≤0在x∈（$\frac{π}{2}$，π）上恒成立；
∴函數(shù)cos（ωx+$\frac{π}{4}$）的周期$\frac{2π}{ω}≥2•（π-\frac{π}{2}）=π$；
∴ω≤2；∴$\frac{π}{4}$＜ω≤2；
由$\frac{π}{2}＜x＜π$得，$\frac{πω}{2}＜ωx+\frac{π}{4}＜πω+\frac{π}{4}$，
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}≤\frac{πω}{2}+\frac{π}{4}}\\{\frac{πω}{2}+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$    解得：$\frac{1}{2}≤ω≤\frac{5}{4}$．
∴$\frac{π}{4}＜ω≤\frac{5}{4}$．
∴ω的取值范圍為（$\frac{π}{4}，\frac{5}{4}$]．
故選擇A．

點(diǎn)評 考查了函數(shù)的基本性質(zhì)中的增函數(shù)的定義，x是銳角時(shí)，滿足sinx＞cosx的x的范圍的求解，三角函數(shù)函數(shù)周期的定義及求法，以及函數(shù)單調(diào)性以及導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系．屬于中檔題．