把函數(shù)f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的圖象沿x軸向左平移m(m＞0)個單位，所得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=π對稱.

(1)求m的最小值；

(2)證明當(dāng)x∈(-π,-π)時，經(jīng)過函數(shù)f(x)圖象上任意兩點的直線的斜率恒為負(fù)數(shù)；

(3)設(shè)x1,x2∈(0,π),x1≠x2,且f(x1)=f(x2)=1,求x1+x2的值.

分析：(1)f(x)的圖象平移后關(guān)于直線x=π對稱，則x=π使平移后的函數(shù)式取最值；(2)只需計算圖象上任兩點斜率的范圍；(3)可求出x1,x2的值即可.

解：(1)f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=-sin2x+3·

=cos2x-sin2x+2=cos(2x+)+2.

    將f(x)的圖象沿x軸向左平移m個單位得到函數(shù)g(x)=cos［2(x+m)+］+2的圖象.

∵g(x)的圖象關(guān)于直線x=π對稱，∴2(π+m)+=kπ(k∈Z)即m=(k∈Z),又m＞0，∴m的最小值為(k=5時取得).

(2)∵-π＜x＜-π,∴-4π＜2x+＜-π,∴f(x)在(-π,-π)上是減函數(shù).于是x1,x2∈(-π，-π)，且x1＜x2,便有f(x1)＞f(x2)從而經(jīng)過兩點(x1,f(x1),(x2,f(x2))的斜率k=＜0.

(3)f(x)=1cos(2x+)=-,在(0，π)內(nèi)滿足cos(2x+)=-的值為和.∵f(x1)=f(x2)=1.且x1,x2∈(0,π).x1≠x2,∴x1+x2=+=π

另法：由2x+=kπ(k∈Z)得x=-

∴在(0，π)內(nèi)的對稱軸為x=π和x=π

    又f(x1)=f(x2)=1,且x1,x2∈(0,π).x1≠x2,x∈(π,π)時f(x)≠1.

∴x1+x2＝2×Equation.3π=Equation.3π.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+
3
sinωxcosωx (ω＞0)的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+
3
sinωx•sin(ωx+
π
2
)（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
2π
3
]上的取值范圍．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
2π
3
]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

附加題：已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+
3
cosωx•cos(
π
2
-ωx)-
1
2
，(其中ω＞0)，且函數(shù)y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2
．
（Ⅰ）求f(
π
6
)的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f(kx+
π
12
)(k＞0)在區(qū)間[-
π
6
，
π
3
]上單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍；
（III）是否存在實數(shù)m使方程3f2（x）-f（x）+m=0在(
π
12
，
π
3
]內(nèi)僅有一解，若存在，求出實數(shù)m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

先把函數(shù)f(x)=sinx的圖象上的所有的點向左平行移動個單位長度得函數(shù)f1(x)的圖象,再把f1(x)的圖象上所有的點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得函數(shù)f2(x)的圖象,則f2(x)等于(    )

A.sin12(x-)        B.sin(12x+)

C.sin2(x-)         D.sin(2x+)

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