Question

已知函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)為f（x），a+b+c=0，且f（0）f（1）＞0，設(shè)x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，則x₁²+x₂²的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算,函數(shù)的零點

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系得到x₁+x₂，x₁x₂的值，將|x₁-x₂|進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求出結(jié)論．

解答： 解：∵g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，故x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

4b2-6ac

9a2

，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
得x₁²+x₂²=

4b2-6ac

9a2

=

4b2+6a2+6ab

9a2

=

4

9

[(

b

a

)2+

3

2

•

b

a

+

3

2

]=

4

9

（

b

a

+

3

4

）² +

5

12

，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即-

a+2b

3

•

8a+4b

3

＞0，
∴（a+2b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，兩邊同除以a²得：（

b

a

+2）（2•

b

a

+1）＜0；
∴-2＜

b

a

＜-

1

2

，
∴

5

12

≤

4

9

（

b

a

+

3

4

）² +

5

12

＜

10

9

∴x₁²+x₂²∈[

5

12

，

10

9

）．
故答案為：[

5

12

，

10

9

）．

點評：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，著重考查韋達(dá)定理的使用，難點在于對條件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考查數(shù)學(xué)思維的深刻性與靈活性，屬于難題．