Question

16．已知動圓M在圓F₁：（x+1）²+y²=$\frac{1}{4}$外部且與圓F₁相切，同時還在圓F₂：（x-1）²+y²=$\frac{49}{4}$內(nèi)部與圓F₂相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）記（1）中求出的軌跡為C，C與x軸的兩個交點分別為A₁、A₂，P是C上異于A₁、A₂的動點，又直線l：x=$\sqrt{6}$與x軸交于點D，直線A₁P、A₂P分別交直線l于E、F兩點，求證：DE•DF為定值．

Answer 1

分析 （1）由直線與圓相切，則|MF₁|+|MF₂|=4＞|F₁F₂|，則M點的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，即可求得橢圓方程；
（2）方法一：分別求得直線PA₁的方程，直線PA₂的方程，分別求得E和F坐標(biāo)，則$|{DE}|•|{DF}|=|{\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（{\sqrt{6}+2}）×\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（{\sqrt{6}-2}）}|=|{\frac{y_0^2}{x_0^2-4}×2}|$，即可求得DE•DF為定值；
方法二：設(shè)E和F坐標(biāo)，聯(lián)立方程求得P的坐標(biāo)，將P代入橢圓方程，即可求得${k_1}{k_2}=-\frac{3}{4}$，則$|{DE}|•|{DF}|=2{k_1}{k_2}=2×|{-\frac{3}{4}}|=\frac{3}{2}$為定值．

解答 解：（1）設(shè)動圓M的半徑為r，由已知得$|{M{F_1}}|=\frac{1}{2}+r，|{M{F_2}}|=\frac{7}{2}-r$，|MF₁|+|MF₂|=4＞|F₁F₂|，
∴M點的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，設(shè)橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則a=2，c=1，則b²=a²-c²=3，
方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）解法一：設(shè)P（x₀，y₀），由已知得A₁（-2，0），A₂（2，0），
則${k_{P{A_1}}}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}$，直線PA₁的方程為：${l_{P{A_1}}}：y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（{x+2}）$，${k_{P{A_2}}}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}$，直線PA₂的方程為：${l_{P{A_2}}}：y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（{x-2}）$，
當(dāng)$x=\sqrt{6}$時，$E（{\sqrt{6}，\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（{\sqrt{6}+2}）}），F(xiàn)（{\sqrt{6}，\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（{\sqrt{6}-2}）}）$，
∴$|{DE}|•|{DF}|=|{\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（{\sqrt{6}+2}）×\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（{\sqrt{6}-2}）}|=|{\frac{y_0^2}{x_0^2-4}×2}|$，
又∵P（x₀，y₀）滿足$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$，
∴$\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=-\frac{3}{4}$，
∴$|{DE}|•|{DF}|=|{-\frac{3}{4}×2}|=\frac{3}{2}$為定值．
（2）解法二：由已知得A₁（-2，0），A₂（2，0），設(shè)直線PA₁的斜率為k₁，直線PA₂的斜率為k₂，由已知得，k₁，k₂存在且不為零．
∴l(xiāng)₁的方程為：y=k₁（x+2），l₂的方程為：y=k₂（x-2），
當(dāng)$x=\sqrt{6}$時，$E（{\sqrt{6}，{k_1}（{\sqrt{6}+2}）}），F(xiàn)（{\sqrt{6}，{k_2}（{\sqrt{6}-2}）}）$，
∴$|{DE}|•|{DF}|=|{{k_1}（{\sqrt{6}+2}）×{k_2}（{\sqrt{6}-2}）}|=2|{{k_1}{k_2}}|$．
聯(lián)立l₁，l₂方程求出P點坐標(biāo)為$（{\frac{{2（{{k_1}+{k_2}}）}}{{{k_2}-{k_1}}}，\frac{{4{k_1}{k_2}}}{{{k_2}-{k_1}}}}）$，
將P點坐標(biāo)代入橢圓方程3x²+4y²=12得$3×\frac{{4{{（{{k_1}+{k_2}}）}^2}}}{{{{（{{k_2}-{k_1}}）}^2}}}+4×\frac{16k_1^2k_2^2}{{{{（{{k_2}-{k_1}}）}^2}}}=12$，
即$12{（{{k_1}+{k_2}}）^2}+64k_1^2k_2^2=12{（{{k_2}-{k_1}}）^2}$，
整理得k₁k₂（3+4k₁k₂）=0，
∵k₁k₂≠0，∴${k_1}{k_2}=-\frac{3}{4}$，
∴$|{DE}|•|{DF}|=2{k_1}{k_2}=2×|{-\frac{3}{4}}|=\frac{3}{2}$為定值．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．