Question

若f(x)=loga(ax2-ax+

1

2

)在[1，

3

2

]上恒正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(0，

2

3

)

．

Answer 1

分析：對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論，將對(duì)數(shù)值恒正，轉(zhuǎn)化為真數(shù)與1的比較，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：若a＞1，則問(wèn)題等價(jià)于ax2-ax-

1

2

＞0在[1，

3

2

]上恒成立，
因?yàn)閷?duì)于的二次函數(shù)y=ax2-ax-

1

2

在[1，

3

2

]上單調(diào)遞增，所以1-1-

1

2

＞0，不成立；
若0＜a＜1，則問(wèn)題等價(jià)于ax2-ax-

1

2

＜0，且ax2-ax+

1

2

＞0在[1，

3

2

]上恒成立，
因?yàn)閷?duì)于的二次函數(shù)y=ax2-ax-

1

2

在[1，

3

2

]上單調(diào)遞增，
所以

9

4

a-

3

2

a-

1

2

＜0，解得a＜

2

3

；
函數(shù)y=ax2-ax+

1

2

在[1，

3

2

]上單調(diào)遞增，所以1-1+

1

2

＞0成立，
綜上，0＜a＜

2

3

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，

2

3

)
故答案為：(0，

2

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．