Question

20．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{4}$，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為$M（\frac{π}{3}，-1）$．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求出ω，由最低點(diǎn)的坐標(biāo)求出ϕ的值，可得f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)y=g（x）的解析式，根據(jù)關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{4}$，∴ω=4，再根據(jù)sin（4•$\frac{π}{3}$+ϕ）=-1，結(jié)合0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$可得$\frac{4π}{3}$+ϕ=$\frac{3π}{2}$，∴ϕ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的表達(dá)式為f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，可得y=sin（4x-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=sin（4x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或 k=1，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或 k=1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．