Question

函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）．
（1）若a=-2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若a=2，b=1，若函數(shù)y=g（x）-2f（x）-x²-k在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得h（x）=lnx+x²-bx，且h（x）的定義域為（0，+∞），h′(x)=

1

x

+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出b的取值范圍．
（2）函數(shù)k（x）=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a在[1，3]上恰有兩個相異實根．由此構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x），
∴h（x）=lnx+x²-bx，且h（x）的定義域為（0，+∞），
∴h′(x)=

1

x

+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2x，∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

，
當且僅當x=

1

x

時，即x=

2

2

時，取等號，
∴b≤2

2

．
（2）函數(shù)k（x）=g（x）-2f（x）-x²在[1，3]上恰有兩個不同的零點，
等價于方程x-2lnx=a在[1，3]上恰有兩個相異實根．
令t（x）=x-2lnx，則t′(x)=1-

2

x

，
當x∈[1，2]時，t′（x）0，
t（x）在[1，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
在（2，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴t（x）_min=t（2）=2-2ln2，
又t（1）=1，t（3）=3-2ln3，
∵t（1）＞t（3），∴只需t（2）＜a≤t（3），
只需φ（2）＜k≤φ（3），
故2-2ln2＜a≤3-2ln3．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法和導數(shù)性質(zhì)的合理運用．