Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=

x

（x-a）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞）．f′(x)=

x-a

2 x

+

x

=

3x-a

2 x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用分類討論思想結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞）．
f′(x)=

x-a

2 x

+

x

=

3x-a

2 x

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，x≠0，∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)．
②當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)0≤x＜

a

3

時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞

a

3

時(shí)，f′（x）＞0．
故f（x）在[0，

a

3

）上為減函數(shù)，在[

a

3

，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅱ）（1）當(dāng)a≤0時(shí)，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，∴f（x）_min=f（1）=1-a．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，
①當(dāng)a≥6時(shí)，2≤

a

3

，由（Ⅰ）知
f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，∴f（x）_min=f（2）=

2

(2-a)；
②當(dāng)3＜a＜6時(shí)，1＜

a

3

＜2，由（Ⅰ）知
f（x）在[1，

a

3

）上為減函數(shù)，在（

a

3

，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（

a

3

）=-

2a a

3

；
③當(dāng)0＜a≤3時(shí)，

a

3

≤1，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=1-a．
綜上所述，
f（x）_min=

1-a，a≤3 - 2a a 3 ，3＜a＜6 2 (2-a)，a≥6

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．