Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x+b}}{x}$過點（1，e）．
（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞0時，求$\frac{f（x）}{x}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出b的值，求出導(dǎo)函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求出導(dǎo)函數(shù)g'（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）函數(shù)定義域為{x|x≠0}，
f（1）=e，
∴b=0，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，f'（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x≥1時，f'（x）≥0，函數(shù)遞增；
當(dāng)x＜0或0＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
∴函數(shù)的增區(qū)間為[1，+∞]，減區(qū)間為（-∞，0），（0，1）；
（2）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g'（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x）}{{x}^{4}}$，
當(dāng)在（0，2）時，g'（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)在（2，+∞）時，g（x）＞0，g（x）遞增，
∴g（x）=$\frac{{e}^{2}}{4}$為函數(shù)的最小值．

點評 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的基本應(yīng)用，屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．