Question

設(shè)x=1是函數(shù)f（x）=的一個(gè)極值點(diǎn)（e為自然對數(shù)的底）．
（1）求a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上的最小值為0，最大值為，且m＞-1．試求m的值．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得
∵x=1是函數(shù)f（x）=的一個(gè)極值點(diǎn)
∴f′（1）=0，∴a=-，∴
令f′（x）＞0，可得或-1＜x＜1；令f′（x）＜0，可得或x＞1；
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，（-1，1），單調(diào)減區(qū)間為，（1，+∞）
（2）由（1）知，
∵m＞-1
①當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，0＜m+1＜1，f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上是增函數(shù)
∴f（m）=0，∴，∴m=，不合題意；
②當(dāng)0≤m＜1時(shí)，m+1∈[1，2），此時(shí)最大值為
∵f（x）的最小值f（m）=0，∴，∴m=；
③當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上是減函數(shù)
∵x＞1時(shí)，，其最小值不可能為0，∴此時(shí)m不存在
綜上知，m=．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用x=1是函數(shù)f（x）=的一個(gè)極值點(diǎn)，可得f′（1）=0，從而可求a的值，進(jìn)而可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知，，對m進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最值，利用函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上的最小值為0，最大值為，即可求m的值．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．