Question

（2012•湛江二模）設(shè)x=1是函數(shù)f（x）=

x+a

(x+1)ex

的一個(gè)極值點(diǎn)（e為自然對(duì)數(shù)的底）．
（1）求a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上的最小值為0，最大值為

1

3e

，且m＞-1．試求m的值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用x=1是函數(shù)f（x）=

x+a

(x+1)ex

的一個(gè)極值點(diǎn)，可得f′（1）=0，從而可求a的值，進(jìn)而可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知，f(x)=

x- 1 3

(x+1)ex

，對(duì)m進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最值，利用函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上的最小值為0，最大值為

1

3e

，即可求m的值．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=-

x2+(a+1)x+2a-1

(x+1)2ex

∵x=1是函數(shù)f（x）=

x+a

(x+1)ex

的一個(gè)極值點(diǎn)
∴f′（1）=0，∴a=-

1

3

，∴f′(x)=-

(x-1)(x+ 5 3 )

(x+1)2ex

令f′（x）＞0，可得-

5

3

＜x＜-1或-1＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＜-

5

3

或x＞1；
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-

5

3

，-1)，（-1，1），單調(diào)減區(qū)間為(-∞，-

5

3

)，（1，+∞）
（2）由（1）知，f(x)=

x- 1 3

(x+1)ex

∵m＞-1
①當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，0＜m+1＜1，f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上是增函數(shù)
∴f（m）=0，∴

m- 1 3

(m+1)em

=0，∴m=

1

3

，不合題意；
②當(dāng)0≤m＜1時(shí)，m+1∈[1，2），此時(shí)最大值為f(1)=

1

3e

∵f（x）的最小值f（m）=0，∴

m- 1 3

(m+1)em

=0，∴m=

1

3

；
③當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上是減函數(shù)
∵x＞1時(shí)，f(x)=

x- 1 3

(x+1)ex

＞0，其最小值不可能為0，∴此時(shí)m不存在
綜上知，m=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．