已知直線l:x=my+1過(guò)橢圓=1的右焦點(diǎn)F，且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線g : x=4上的射影為D、E.

（1）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且=λ1,=λ2,當(dāng)m變化時(shí)，求λ1+λ2的值；

（2）連結(jié)AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一點(diǎn)是N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說(shuō)明理由.

解：（1）由已知得M(0,),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3m2+4)y2+6my-6=0.

∴y1+y2=,y1y2=.

由=λ1,得(x1,y1+)=λ1(1-x1,-y1),

∴y1+=-λ1y1.∴λ1=-1.同理λ2=-1.

∴λ1+λ2=-2-(+)=-2=-2+=.

（2）當(dāng)m=0時(shí)，A（1，），B（1，），D（4，），E（4，）.

∵ABED為矩形，∴N（,0).

當(dāng)m≠0時(shí),D(4,y1),E(4,y2),∵=(-x1,-y1),=(,y2),

由(-x1)y2+y1=(-my1-1)y2+y1=(y1+y2)-my1y2=+=0.

∴∥，即A、N、E三點(diǎn)共線.

同理可證，B、N、D三點(diǎn)共線.綜上，對(duì)任意m，直線AE、BD相交于定點(diǎn)N(,0).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知直線L：x=my+1過(guò)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在直線G：x=a2上的射影依次為點(diǎn)D，K，E．
（1）若拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）連接AE，BD，證明：當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD相交于一定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：x-my+1-m=0（m∈R），圓C：x2+y2+4x-2y-4=0．
（Ⅰ）證明：對(duì)任意m∈R，直線l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅱ）過(guò)圓心C作CM⊥l于點(diǎn)M，當(dāng)m變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡Γ的方程．
（Ⅲ）直線l：x-my+1-m=0與點(diǎn)M的軌跡Γ交于點(diǎn)M，N，與圓C交于點(diǎn)A，B，是否存在m的值，使得
S△CMN
S△CAB
=
1
4
？若存在，試求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直線L：x=my+1過(guò)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線G：x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、E．
（1）若拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）若N(
a2+1
2
，0)為x軸上一點(diǎn)，求證：
AN
=λ
NE
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：山東省淄博市2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理科 題型：044

(理科)如圖，已知直線l：my＋1過(guò)橢圓C：＝1的右焦點(diǎn)F，拋物線：x2＝4y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x＝4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時(shí)，探求λ1＋λ2的值是否為定值？若是，求出λ1＋λ2的值，否則，說(shuō)明理由；

(Ⅲ)連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由．

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