Question

1．已知二次函數(shù)f（x）=3x²-2x，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點$（n，{S_n}）\;（n∈{N^*}）$均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}，{T_n}$是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得${T_n}＜\frac{m}{2014}$對所有的n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，確定出S_n，由a_n=S_n-S_n-1確定出通項公式即可；
（Ⅱ）由第一問確定出的通項公式表示出b_n，進而表示出T_n，代入已知不等式確定出最小正整數(shù)m的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=3x²-2x，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴S_n=3n²-2n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-）]=6n-5，
當n=1時a₁=1也適合，
∴a_n=6n-5（n∈N^*）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n+1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$），
要使$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）＜$\frac{m}{2014}$（n∈N^*）成立，m必須且僅需滿足$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{2014}$，即m≥1007，
則滿足要求的最小正整數(shù)m為1007．

點評 此題考查了數(shù)列的遞推式，二次函數(shù)的性質，熟練掌握運算法則及性質是解本題的關鍵．